18.1 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
基础训练
知识点1 三角形的中位线性质
1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE=10,则BC等于( )
A.12 B.16 C.20 D.24
2.(2016·河南)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )21教育网
A.6 B.5 C.4 D.3
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.8 B.10 C.12 D.14
4.(2016·株洲)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,连接OE,以下说法错误的是( )
A.OE=
DC B.OA=OC
C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
5.如图,点D,E,F分别为△ABC各边中点,下列说法正确的是( )
A.DE=DF B.EF= AB
C.S△ABD=S△ACD D.AD平分∠BAC
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,则S△EBD∶S△ABC=( )www.21-cn-jy.com
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶3 D.2∶3
知识点2 三角形中位线在四边形中的应用
7. 如图,已知E,F,G,H分别为四边形ABCD各边的中点,若AC=10 cm,BD=12 cm,则四边形EFGH的周长为( )2-1-c-n-j-y
A.10 cm B.11 cm
C.12 cm D.22 cm
8.如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
9.如图,已知长方形ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,下列结论成立的是( )【出处：21教育名师】
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长先增大后减小
10.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3
,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 . 【版权所有：21教育】
易错点 忽视整体思想的应用而求不出中位线的长
11.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24 cm,△OAB的周长是18 cm,则EF= cm. 【来源：21cnj*y.co*m】
提升训练
考查角度1 利用三角形的中位线求线段的长
12.(2016·菏泽)如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
考查角度2 利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系
13.如图,AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.求证:若O为AB的中点,则OF= BE.
探究培优
拔尖角度1 利用三角形中位线巧证角相等(构造中位线法)
14.如图,四边形ABCD中,AB=CD,G,H分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别交GH的延长线于点E,F.求证:∠AEH=∠F.
拔尖角度2 利用三角形中位线巧证线段相等(构造平行四边形法)
15.已知:如图,在▱ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.21·cn·jy·com
参考答案
1.【答案】C
解：因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE是△ABC的中位线,因此DE= BC,故BC=2DE=20.选C.21世纪教育网版权所有
2.【答案】D
解：连接CE.∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.
又∵DE垂直平分AC交AB于点E,
∴AE=CE.∴∠A=∠ACE.
又∵∠A+∠B=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠B=∠BCE.∴CE=BE.
∴AE=BE.
∴DE是△ACB的中位线,
∴DE= BC=3.
故选D.
3.【答案】C
4.【答案】D
解：由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A,B,C正确;由OB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,故选项D错误.2·1·c·n·j·y
5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】D
9.【答案】C
解：连接AR.因为E,F分别是AP,RP的中点,所以EF为△APR的中位线,所以EF= AR,为定值.所以线段EF的长不改变.故选C.
10.【答案】3
解：连接DN.∵E,F分别为DM,MN的中点,∴EF= DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB=
=6,∴EF长度的最大值为3.www-2-1-cnjy-com
11.【答案】3
解：∵AC+BD=24 cm,∴OA+OB=12 cm,又∵△OAB的周长是18 cm,∴OA+OB+AB=18 cm,∴AB=6 cm.又∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF= AB=3 cm.此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA,OB的长度和,从而导致求不出中位线长.21*cnjy*com
12.分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF= BC,DG∥BC且DG= BC,从而得到DG=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
(1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG
