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2014年黑龙江省绥化市中考数学

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2014年黑龙江省绥化市中考数学

一、填空题(每小题3分,满分33)

 

1.(3)-2014的相反数   .

解析:-2014的相反数是2014

答案:2014.

 

2.(3)使二次根式 有意义的x的取值范围是  .

解析:根据二次根式的意义,得x+3≥0,解得x≥-3.

答案:x≥-3.

 

3.(3)如图,ACBD相交于点O,∠A=∠D,请补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充的条件是   (填出一个即可).

解析:AB=CD

理由是:∵在△AOB和△DOC中, ,∴△AOB≌△DOC(AAS)

答案:AB=CD(答案不唯一).

 

4.(3)布袋中装有3个红球和6个白球,它们除颜色外其他都相同,如果从布袋里随机摸出一个球,那么所摸到的球恰好为红球的概率是  .

解析:∵一个布袋里装有3个红球和6个白球,∴摸出一个球摸到红球的概率为: = .

答案: .

 

5.(3)化简 - 的结果是  .

解析:原式= - =- =- .

答案:- .

 

6.(3)如图,直线ab被直线c所截,a∥b,∠1+∠2的度数是   .

解析:a∥b,∴∠1=∠3

∵∠2+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°

答案:180°.

 

7.(3)服装店销售某款服装,一件服装的标价为300元,若按标价的八折销售,仍可获利60元,则这款服装每件的标价比进价多   .

解析:设这款服装每件的进价为x元,由题意,得300×0.8-x=60,解得:x=180.

标价比进价多300-180=120.

答案:120.

 

8.(3)一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为   (结果保留π)

解析:由题意得,n=120°R=3,故S扇形= = =3π.

答案:3π.

 

9.(3)分解因式:a3-4a2+4a=   .

解析:a3-4a2+4a=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.

答案:a(a-2)2.

 

10.(3)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(11)B(-11)C(-1-2)D(1-2),把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处,并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线的另一端所在位置的点的坐标是   .

解析:A(11)B(-11)C(-1-2)D(1-2)

AB=1-(-1)=2BC=1-(-2)=3CD=1-(-1)=2DA=1-(-2)=3

绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10

2014÷10=201…4,∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置,

即线段BC的中间位置,点的坐标为(-1-1).

答案:(-1-1).

 

11.(3)矩形纸片ABCD中,已知AD=8AB=6E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为  .

解析:①当∠EFC=90°时,如图1

∵∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,∴点AFC共线,

矩形ABCD的边AD=8,∴BC=AD=8,在Rt△ABC中,AC= = =10

BE=x,则CE=BC-BE=8-x,由翻折的性质得,AF=AB=6EF=BE=x,∴CF=AC-AF=10-6=4

Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3,即BE=3

当∠CEF=90°时,如图2

由翻折的性质得,∠AEB=∠AEF= ×90°=45°,∴四边形ABEF是正方形,∴BE=AB=6

综上所述,BE的长为36.

答案:36.

 

二、单项选择题(每题3分,满分21)

 

12.(3)下列运算正确的是(  )

A. (a3)2=a6

B. 3a+3b=6ab

C. a6÷a3=a2

D. a3-a=a2

解析:A、底数不变指数相乘,故A正确;

B、不是同类项不能合并,故B错误;

C、底数不变指数相减,故C错误;

D、不是同底数幂的除法,指数不能相减,故D错误;

答案:A.

 

13.(3)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )

A.

B. 等边三角形

C.

D. 平行四边形

解析:A、角是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;

B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;

C、圆既是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项正确;

D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误.

答案:C.

 

14.(3)分式方程 的解是(  )

A. x=-2

B. x=2

C. x=1

D. x=1x=2

解析:方程的两边同乘(x-2),得2x-5=-3,解得x=1.

检验:当x=1时,(x-2)=-1≠0.∴原方程的解为:x=1.

答案:C.

 

15.(3)如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图,图中所标数字为该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是(  )

A.

B.

C.

D.

解析:由俯视图中的数字可得:左视图有3列,从左到右分别是23个正方形.

答案:D.

 

16.(3)如图,过点O作直线与双曲线y= (k≠0)交于AB两点,过点BBC⊥x轴于点C,作BD⊥y轴于点D.x轴上分别取点EF,使点AEF在同一条直线上,且AE=AF.设图中矩形ODBC的面积为S1,△EOF的面积为S2,则S1S2的数量关系是(  )

A. S1=S2

B. 2S1=S2

C. 3S1=S2

D. 4S1=S2

解析:A点坐标为(m-n)

过点O的直线与双曲线y= 交于AB两点,则AB两点关与原点对称,则B的坐标为(-mn)

矩形OCBD中,易得OD=nOC=m;则S1=mn

Rt△EOF中,AE=AF,故AEF中点,

由中位线的性质可得OF=2nOE=2m;则S2= OF×OE=2mn;故2S1=S2.

答案:B.

 

17.(3)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(30),二次函数图象的对称轴是x=1,下列结论正确的是(  )

A. b24ac

B. ac0

C. a-b+c0

D. 4a+2b+c0

解析:∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac0,即b24ac,所以A选项正确;

抛物线开口向下,∴a0

抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c0,∴ac0,所以B选项错误;

抛物线过点A(30),二次函数图象的对称轴是x=1

抛物线与x轴的另一个交点为(-10),∴a-b+c=0,所以C选项错误;

x=2时,y0,∴4a+2b+c0,所以D选项错误.

答案:A.

 

18.(3)如图,在矩形ABCD中,AD= AB,∠BAD的平分线交BC于点EDH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DEBF于点O,下列结论:

①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC-CF=2HE;⑤AB=HF

其中正确的有(  )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解析:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°

∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE= AB

AD= AB,∴AE=AD

在△ABE和△AHD中, ,∴△ABE≌△AHD(AAS),∴BE=DH

AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED= (180°-45°)=67.5°

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正确;

 

AB=AH,∵∠AHB= (180°-45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等)

∴∠OHE=67.5°=∠AED,∴OE=OH

∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,∴∠DHO=∠ODH

OH=OD,∴OE=OD=OH,故②正确;

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD

在△BEH和△HDF中, ,∴△BEH≌△HDF(ASA)

BH=HFHE=DF,故③正确;

HE=AE-AH=BC-CD,∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确;

AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤错误;

综上所述,结论正确的是①②③④共4.

答案:C.

 

三、解答题(满分66)

19.(5)计算: .

解析:分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等运算,然后按照实数的运算法则计算即可.

答案:原式=2 -2× +1-8= .

 

20.(6)某校240名学生参加植树活动,要求每人植树47棵,活动结束后抽查了20名学生每人的植树量,并分为四类:A4棵、B5棵、C6棵、D7棵,将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图,回答下列问题:

(1)补全条形图;

(2)写出这20名学生每人植树量的众数和中位数;

(3)估计这240名学生共植树多少棵?

解析:(1)根据抽查人数减去ABC类人数,求出D类的人数,然后补全统计图即可;

(2)根据众数的定义解答,根据中位数的定义,找出第10人和第11人植树的平均棵树,然后解答即可;

(3)求出20人植树的平均棵树,然后乘以总人数240计算即可得解.

答案:(1)D类的人数为:20-4-8-6=20-18=2人,

补全统计图如图所示:

 

(2)由图可知,植树5棵的人数最多,是8人,

所以,众数为5

按照植树的棵树从少到多排列,第10人与第11人都是植5棵数,

所以中位数是5

(3) = =5.3()

240×5.3=1272().

答:估计这240名学生共植树1272.

 

21.(6)已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(03)B(34)C(22)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 

(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为21,点C2的坐标是   

(3)△A2B2C2的面积是   平方单位.

解析:(1)利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案;

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可;

(3)利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积.

答案:(1)如图所示:C1(2-2)

故答案为:(2-2)

(2)如图所示:C2(10)

故答案为:(10)

(3)∵A2C22=20B2C =20A2B2 =40,∴△A2B2C2是等腰直角三角形,

∴△A2B2C2的面积是: ×20=10平方单位.

故答案为:10.

 

22.(6)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠BCD.

(1)求证:CB∥PD

(2)BC=3sin∠BPD= ,求⊙O的直径.

解析:(1)根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD,根据平行线的判定推出即可;

(2)根据垂径定理求出弧BC=BD,推出∠A=∠P,解直角三角形求出即可.

答案:(1)∵∠D=∠1,∠1=∠BCD,∴∠D=∠BCD,∴CB∥PD

(2)连接AC

AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°

CD⊥AB,∴弧BD=BC,∴∠BPD=∠CAB,∴sin∠CAB=sin∠BPD= ,即 =

BC=3,∴AB=5,即⊙O的直径是5.

 

23.(8)在一条笔直的公路旁依次有ABC三个村庄,甲、乙两人同时分别从AB两村出发,甲骑摩托车,乙骑电动车沿公路匀速驶向C村,最终到达C.设甲、乙两人到C村的距离y1y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,请回答下列问题:

(1)AC两村间的距离为   kma= 

(2)求出图中点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;

(3)乙在行驶过程中,何时距甲10km

解析:(1)由图可知与y轴交点的坐标表示AC两村间的距离为120km,再由0.5小时距离C90km,行驶120-90=30km,速度为60km/h,求得a=2

(2)求得y1y2两个函数解析式,建立方程求得点P坐标,表示在什么时间相遇以及距离C村的距离;

(3)(2)中的函数解析式根据距甲10km建立方程;探讨得出答案即可.

答案:(1)AC两村间的距离120kma=120÷[(120-90)÷0.5]=2

(2)y1=k1x+120,代入(20)解得y1=-60x+120y2=k2x+90,代入(30)解得y1=-30x+90

-60x+120=-30x+90解得x=1,则y1=y2=60

所以P(160),表示经过1小时甲与乙相遇且距C60km.

(3)y1-y2=10,即-60x+120-(-30x+90)=10解得x=

y2-y1=10,即-30x+90-(-60x+120)=10解得x=

当甲走到C地,而乙距离C10km时,-30x+90=10解得x=

综上所知当x= h,或x= h,或x= h乙距甲10km.

 

24.(8)某商场用36万元购进AB两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:

(1)该商场购进AB两种商品各多少件;

(2)商场第二次以原进价购进AB两种商品.购进B种商品的件数不变,而购进A种商品的件数是第一次的2倍,A种商品按原售价出售,而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于81600元,B种商品最低售价为每件多少元?

解析:(1)设购进A种商品x件,B种商品y件,列出不等式方程组可求解.

(2)(1)A商品购进数量,再求出B商品的售价.

答案:(1)设购进A种商品x件,B种商品y件,

根据题意得

化简得 ,解之得 .

答:该商场购进AB两种商品分别为200件和120.

(2)由于第二次A商品购进400件,获利为(1380-1200)×400=72000()

从而B商品售完获利应不少于81600-72000=9600()

B商品每件售价为z元,则120(z-1000)≥9600解之得z≥1080

所以B种商品最低售价为每件1080.

 

25.(8)如图,抛物线y=-x2+3x+4x轴交于AB两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.

(1)tan∠DBC的值;

(2)P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.

解析:(1)如图,连接CD,过点DDE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点ABCD的坐标,则易推知CD∥AB,所以∠BCD=∠ABC=45°.利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4 BE=BC-CE= .由正切三角函数定义知tan∠DBC= =

(2)过点PPF⊥x轴于点F.由点BD的坐标得到BD⊥x轴,∠PBF=∠DBC,利用(1)中的结果得到:tan∠PBF= .P(x-x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知 = ,通过解方程求得点P的坐标为(- ).

答案:(1)y=0,则-x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0,解得 x1=-1x2=4.∴A(-10)B(40).

x=3时,y=-32+3×3+4=4,∴D(34).

如图,连接CD,过点DDE⊥BC于点E.

C(04),∴CD∥AB,∴∠BCD=∠ABC=45°.

在直角△OBC中,∵OC=OB=4,∴BC=4 .

在直角△CDE中,CD=3.∴CE=ED= ,∴BE=BC-CE= .∴tan∠DBC= =

(2)过点PPF⊥x轴于点F.

∵∠CBF=∠DBP=45°,∴∠PBF=∠DBC,∴tan∠PBF= .

P(x-x2+3x+4),则 = ,解得 x1=- x2=4(舍去),∴P(- ).

 

26.(9)在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°PDF的中点,连接PGPC.

(1)如图1,当点GBC边上时,易证:PG= PC.(不必证明)

(2)如图2,当点FAB的延长线上时,线段PCPG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给与证明;

(3)如图3,当点FCB的延长线上时,线段PCPG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).

解析:(1)延长GPDC于点E,利用△PED≌△PGF,得出PE=PGDE=FG,得到CE=CGCPEG的中垂线,在Rt△CPG中,∠PCG=60°,所以PG= PC.

(2)延长GPDA于点E,连接ECGC,先证明△DPE≌△FPG,再证得△CDE≌△CBG,利用在Rt△CPG中,∠PCG=60°,所以PG= PC.

(3)延长GPH,使PH=PG,连接CHDH,作FE∥DC,先证△GFP≌△HDP,再证得△HDC≌△GBC,在Rt△CPG中,∠PCG=60°,所以PG= PC.

答案:(1)提示:如图1:延长GPDC于点E

利用△PED≌△PGF,得出PE=PGDE=FG

∵△BGF是等边三角形,∴FG=BG

又∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∴CE=CG,∴CPEG的中垂线,

Rt△CPG中,∠PCG=60°,∴PG= PC.

(2)如图2,延长GPDA于点E,连接ECGC

∵∠ABC=60°,△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD,∴∠EDP=∠GFP

在△DPE和△FPG中, ,∴△DPE≌△FPG(ASA),∴PE=PGDE=FG=BG

∵∠CDE=CBG=60°CD=CB

在△CDE和△CBG中, ,∴△CDE≌△CBG(SAS),∴CE=CG,∠DCE=∠BCG

∴∠ECG=∠DCB=120°

PE=PG,∴CP⊥PG,∠PCG= ∠ECG=60°∴PG= PC.

(3)猜想:PG= PC.证明:如图3,延长GPH,使PH=PG,连接CHCGDH,作FE∥DC

P是线段DF的中点,∴FP=DP

∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP,∴GF=HD,∠GFP=∠HDP

∵∠GFP+∠PFE=120°,∠PFE=∠PDC,∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°

四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠ADC=∠ABC=60°,点ABG又在一条直线上,∴∠GBC=120°

∵△BFG是等边三角形,∴GF=GB,∴HD=GB,∴△HDC≌△GBC

CH=CG,∠DCH=∠BCG,∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°,即∠HCG=120°

CH=CGPH=PG,∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°,∴PG= PC.

 

27.(10)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形AOBC的顶点C的坐标是(24),动点P从点A出发,沿线段AO向终点O运动,同时动点Q从点B出发,沿线段BC向终点C运动.PQ的运动速度均为1个单位,运动时间为t.过点PPE⊥AOAB于点E.

(1)求直线AB的解析式;

(2)设△PEQ的面积为S,求St时间的函数关系,并指出自变量t的取值范围;

(3)在动点PQ运动的过程中,点H是矩形AOBC(包括边界)一点,且以BQEH为顶点的四边形是菱形,直接写出t值和与其对应的点H的坐标.

解析:(1)依据待定系数法即可求得;

(2)有两种情况:当0t2时,PF=4-2t,当2t≤4时,PF=2t-4,然后根据面积公式即可求得;

(3)依据菱形的邻边相等关系即可求得.

答案:(1)∵C(24),∴A(04)B(20)

设直线AB的解析式为y=kx+b,∴ ,解得 ∴直线AB的解析式为y=-2x+4.

(2)如图2,过点QQF⊥y轴于F

PE∥OB,∴ = = AP=BQ=tPE= tAF=CQ=4-t

0t2时,PF=4-2t,∴S= PE·PF= × t(4-2t)=t- t2,即S=- t2+t(0t2)

2t≤4时,PF=2t-4,∴S= PE·PF= × t(2t-4)= t2-t(2t≤4).

(3)t1= H1( )t2=20-8 H2(10-4 4).

 

 

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