2014年黑龙江省绥化市中考数学

2014年黑龙江省绥化市中考数学

一、填空题(每小题3分，满分33分)

 

1.(3分)-2014的相反数　 　.

解析：∵-2014的相反数是2014，

答案：2014.

　

2.(3分)使二次根式 有意义的x的取值范围是　 .

解析：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥-3.

答案：x≥-3.

 

3.(3分)如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是　 　(填出一个即可).

解析：AB=CD，

理由是：∵在△AOB和△DOC中， ，∴△AOB≌△DOC(AAS)，

答案：AB=CD(答案不唯一).

　

4.(3分)布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是　　.

解析：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为： = .

答案： .

　

5.(3分)化简 - 的结果是　　.

解析：原式= - =- =- .

答案：- .

 

6.(3分)如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1+∠2的度数是　 　.

解析：∵a∥b，∴∠1=∠3，

∵∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，

答案：180°.

　

7.(3分)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多　 　元.

解析：设这款服装每件的进价为x元，由题意，得300×0.8-x=60，解得：x=180.

∴标价比进价多300-180=120元.

答案：120.

　

8.(3分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为　 　(结果保留π)

解析：由题意得，n=120°，R=3，故S_扇形= = =3π.

答案：3π.

　

9.(3分)分解因式：a³-4a²+4a=　 　.

解析：a³-4a²+4a，=a(a²-4a+4)，=a(a-2)².

答案：a(a-2)².

　

10.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)，把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是　 　.

解析：∵A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)，

∴AB=1-(-1)=2，BC=1-(-2)=3，CD=1-(-1)=2，DA=1-(-2)=3，

∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，

2014÷10=201…4，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，

即线段BC的中间位置，点的坐标为(-1，-1).

答案：(-1，-1).

　

11.(3分)矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 .

解析：①当∠EFC=90°时，如图1，

∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，

∵矩形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，在Rt△ABC中，AC= = =10，

设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，∴CF=AC-AF=10-6=4，

在Rt△CEF中，EF²+CF²=CE²，即x²+4²=(8-x)²，解得x=3，即BE=3；

②当∠CEF=90°时，如图2，

由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，

综上所述，BE的长为3或6.

答案：3或6.

　

二、单项选择题(每题3分，满分21分)

 

12.(3分)下列运算正确的是(　　)

A. (a³)²=a⁶

B. 3a+3b=6ab

C. a⁶÷a³=a²

D. a³-a=a²

解析：A、底数不变指数相乘，故A正确；

B、不是同类项不能合并，故B错误；

C、底数不变指数相减，故C错误；

D、不是同底数幂的除法，指数不能相减，故D错误；

答案：A.

　

13.(3分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A. 角

B. 等边三角形

C. 圆

D. 平行四边形

解析：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；

D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误.

答案：C.

　

14.(3分)分式方程 的解是(　　)

A. x=-2

B. x=2

C. x=1

D. x=1或x=2

解析：方程的两边同乘(x-2)，得2x-5=-3，解得x=1.

检验：当x=1时，(x-2)=-1≠0.∴原方程的解为：x=1.

答案：C.

　

15.(3分)如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：由俯视图中的数字可得：左视图有3列，从左到右分别是2，3个正方形.

答案：D.

　

16.(3分)如图，过点O作直线与双曲线y= (k≠0)交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D.在x轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF.设图中矩形ODBC的面积为S₁，△EOF的面积为S₂，则S₁、S₂的数量关系是(　　)

A. S₁=S₂

B. 2S₁=S₂

C. 3S₁=S₂

D. 4S₁=S₂

解析：设A点坐标为(m，-n)，

过点O的直线与双曲线y= 交于A、B两点，则A、B两点关与原点对称，则B的坐标为(-m，n)；

矩形OCBD中，易得OD=n，OC=m；则S₁=mn；

在Rt△EOF中，AE=AF，故A为EF中点，

由中位线的性质可得OF=2n，OE=2m；则S₂= OF×OE=2mn；故2S₁=S₂.

答案：B.

　

17.(3分)如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是(　　)

A. b²＞4ac

B. ac＞0

C. a-b+c＞0

D. 4a+2b+c＜0

解析：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以A选项正确；

∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以B选项错误；

∵抛物线过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，∴a-b+c=0，所以C选项错误；

∵当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误.

答案：A.

　

18.(3分)如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF，

其中正确的有(　　)

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

解析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE= AB，

∵AD= AB，∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中， ，∴△ABE≌△AHD(AAS)，∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED= (180°-45°)=67.5°，

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；

 

∵AB=AH，∵∠AHB= (180°-45°)=67.5°，∠OHE=∠AHB(对顶角相等)，

∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，

∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中， ，∴△BEH≌△HDF(ASA)，

∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确；

∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个.

答案：C.

　

三、解答题(满分66分)

19.(5分)计算： .

解析：分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可.

答案：原式=2 -2× +1-8= .

　

20.(6分)某校240名学生参加植树活动，要求每人植树4～7棵，活动结束后抽查了20名学生每人的植树量，并分为四类：A类4棵、B类5棵、C类6棵、D类7棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题：

(1)补全条形图；

(2)写出这20名学生每人植树量的众数和中位数；

(3)估计这240名学生共植树多少棵？

解析：(1)根据抽查人数减去A、B、C类人数，求出D类的人数，然后补全统计图即可；

(2)根据众数的定义解答，根据中位数的定义，找出第10人和第11人植树的平均棵树，然后解答即可；

(3)求出20人植树的平均棵树，然后乘以总人数240计算即可得解.

答案：(1)D类的人数为：20-4-8-6=20-18=2人，

补全统计图如图所示：

；

 

(2)由图可知，植树5棵的人数最多，是8人，

所以，众数为5，

按照植树的棵树从少到多排列，第10人与第11人都是植5棵数，

所以中位数是5；

(3) = =5.3(棵)，

240×5.3=1272(棵).

答：估计这240名学生共植树1272棵.

　

21.(6分)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A₁B₁C₁，点C₁的坐标是　 ；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂与△ABC位似，且位似比为2：1，点C₂的坐标是　 　；

(3)△A₂B₂C₂的面积是　 　平方单位.

解析：(1)利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可；

(3)利用等腰直角三角形的性质得出△A₂B₂C₂的面积.

答案：(1)如图所示：C₁(2，-2)；

故答案为：(2，-2)；

(2)如图所示：C₂(1，0)；

故答案为：(1，0)；

(3)∵A₂C₂²=20，B₂C =20，A₂B₂ =40，∴△A₂B₂C₂是等腰直角三角形，

∴△A₂B₂C₂的面积是： ×20=10平方单位.

故答案为：10.

　

22.(6分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD.

(1)求证：CB∥PD；

(2)若BC=3，sin∠BPD= ，求⊙O的直径.

解析：(1)根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；

(2)根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可.

答案：(1)∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；

(2)连接AC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，∴弧BD=弧BC，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD= ，即 = ，

∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5.

　

23.(8分)在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村.设甲、乙两人到C村的距离y₁，y₂(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：

(1)A、C两村间的距离为　 　km，a=　 ；

(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

(3)乙在行驶过程中，何时距甲10km？

解析：(1)由图可知与y轴交点的坐标表示A、C两村间的距离为120km，再由0.5小时距离C村90km，行驶120-90=30km，速度为60km/h，求得a=2；

(2)求得y₁，y₂两个函数解析式，建立方程求得点P坐标，表示在什么时间相遇以及距离C村的距离；

(3)由(2)中的函数解析式根据距甲10km建立方程；探讨得出答案即可.

答案：(1)A、C两村间的距离120km，a=120÷[(120-90)÷0.5]=2；

(2)设y₁=k₁x+120，代入(2，0)解得y₁=-60x+120，y₂=k₂x+90，代入(3，0)解得y₁=-30x+90，

由-60x+120=-30x+90解得x=1，则y₁=y₂=60，

所以P(1，60)，表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km.

(3)当y₁-y₂=10，即-60x+120-(-30x+90)=10解得x= ，

当y₂-y₁=10，即-30x+90-(-60x+120)=10解得x= ，

当甲走到C地，而乙距离C地10km时，-30x+90=10解得x= ；

综上所知当x= h，或x= h，或x= h乙距甲10km.

　

24.(8分)某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

(1)该商场购进A、B两种商品各多少件；

(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？

解析：(1)设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解.

(2)由(1)得A商品购进数量，再求出B商品的售价.

答案：(1)设购进A种商品x件，B种商品y件，

根据题意得

化简得 ，解之得 .

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件.

(2)由于第二次A商品购进400件，获利为(1380-1200)×400=72000(元)

从而B商品售完获利应不少于81600-72000=9600(元)

设B商品每件售价为z元，则120(z-1000)≥9600解之得z≥1080

所以B种商品最低售价为每件1080元.

　

25.(8分)如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3.

(1)求tan∠DBC的值；

(2)点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标.

解析：(1)如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°.利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4 ，BE=BC-CE= .由正切三角函数定义知tan∠DBC= = ；

(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由点B、D的坐标得到BD⊥x轴，∠PBF=∠DBC，利用(1)中的结果得到：tan∠PBF= .设P(x，-x²+3x+4)，则利用锐角三角函数定义推知 = ，通过解方程求得点P的坐标为(- ， ).

答案：(1)令y=0，则-x²+3x+4=-(x+1)(x-4)=0，解得 x₁=-1，x₂=4.∴A(-1，0)，B(4，0).

当x=3时，y=-3²+3×3+4=4，∴D(3，4).

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E.

∵C(0，4)，∴CD∥AB，∴∠BCD=∠ABC=45°.

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4 .

在直角△CDE中，CD=3.∴CE=ED= ，∴BE=BC-CE= .∴tan∠DBC= = ；

(2)过点P作PF⊥x轴于点F.

∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF= .

设P(x，-x²+3x+4)，则 = ，解得 x₁=- ，x₂=4(舍去)，∴P(- ， ).

　

26.(9分)在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC.

(1)如图1，当点G在BC边上时，易证：PG= PC.(不必证明)

(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明).

解析：(1)延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG= PC.

(2)延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG= PC.

(3)延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作FE∥DC，先证△GFP≌△HDP，再证得△HDC≌△GBC，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG= PC.

答案：(1)提示：如图1：延长GP交DC于点E，

利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，

∵△BGF是等边三角形，∴FG=BG，

又∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，

在Rt△CPG中，∠PCG=60°，∴PG= PC.

(2)如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP=∠GFP，

在△DPE和△FPG中， ，∴△DPE≌△FPG(ASA)，∴PE=PG，DE=FG=BG，

∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，

在△CDE和△CBG中， ，∴△CDE≌△CBG(SAS)，∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，

∴∠ECG=∠DCB=120°，

∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG= ∠ECG=60°∴PG= PC.

(3)猜想：PG= PC.证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC

∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，

∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，

∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，

∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC=120°，

∵△BFG是等边三角形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，

∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°

∵CH=CG，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，∴PG= PC.

　

27.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是(2，4)，动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动.点P、Q的运动速度均为1个单位，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AO交AB于点E.

(1)求直线AB的解析式；

(2)设△PEQ的面积为S，求S与t时间的函数关系，并指出自变量t的取值范围；

(3)在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内(包括边界)一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标.

解析：(1)依据待定系数法即可求得；

(2)有两种情况：当0＜t＜2时，PF=4-2t，当2＜t≤4时，PF=2t-4，然后根据面积公式即可求得；

(3)依据菱形的邻边相等关系即可求得.

答案：(1)∵C(2，4)，∴A(0，4)，B(2，0)，

设直线AB的解析式为y=kx+b，∴ ，解得 ∴直线AB的解析式为y=-2x+4.

(2)如图2，过点Q作QF⊥y轴于F，

∵PE∥OB，∴ = = ∴有AP=BQ=t，PE= t，AF=CQ=4-t，

当0＜t＜2时，PF=4-2t，∴S= PE·PF= × t(4-2t)=t- t²，即S=- t²+t(0＜t＜2)，

当2＜t≤4时，PF=2t-4，∴S= PE·PF= × t(2t-4)= t²-t(2＜t≤4).

(3)t₁= ，H₁( ， )，t₂=20-8 ，H₂(10-4 ，4).