2014年江苏省南通市中考数学

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2014年江苏省南通市中考数学

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.(3分)-4的相反数(　　)

A. 4

B. -4

D. -

解析：-4的相反数4.

答案：A.

2.(3分)如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为(　　)

A. 160°

B. 140°

C. 60°

D. 50°

解析：如图，

∵∠1=40°，∴∠2=180°-40°=140°，∵CD∥BE，∴∠B=∠2=140°.

答案：B.

3.(3分)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(　　)

A. 圆柱

B. 圆锥

C. 球

D. 棱柱

解析：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱.

答案：A.

4.(3分)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)

A. x≥

B. x≥-

C. x＞

D. x≠

解析：由题意得，2x-1＞0，解得x＞ .

答案：C.

5.(3分)点P(2，-5)关于x轴对称的点的坐标为(　　)

A. (-2，5)

B. (2，5)

C. (-2，-5)

D. (2，-5)

解析：∵点P(2，-5)关于x轴对称，∴对称点的坐标为：(2，5).

答案：B.　

6.(3分)化简的结果是(　　)

A. x+1

B. x-1

C. -x

D. x

解析： = - = = =x，

答案：D.

7.(3分)已知一次函数y=kx-1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过(　　)

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

解析：∵一次函数y=kx-1且y随x的增大而增大，∴k＜0，该直线与y轴交于y轴负半轴，

∴该直线经过第一、三、四象限.

答案：C.

8.(3分)若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是(　　)

A. a≥1

B. a＞1

C. a≤-1

D. a＜-1

解析：解得，，∵ 无解，∴a≥1.

答案：A.

9.(3分)如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为(　　)

A. 1

B. 2

C. 12 -6

D. 6 -6

解析：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，

∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，

∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，

∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，

∵AB=AC=18，BC=12，∴BM= BC=6，∴AM= =12 ，∴ ，

∴ ，∴AN=6 ，∴MN=AM-AN=6 ，∴FH=MN-GF=6 -6.

答案：D.

10.(3分)如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a( )的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是(　　)

D. πr²

解析：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO₁，

则Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=r， .

∴ .由 .

∵由题意，∠DO₁E=120°，得，

∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为 = .

答案：C.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

11.(3分)我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为　　吨.

解析：将67500用科学记数法表示为：6.75×10⁴.

答案：6.75×10⁴.

12.(3分)因式分解a³b-ab=　　.

解析：a³b-ab=ab(a²-1)=ab(a+1)(a-1).

答案：ab(a+1)(a-1).

13.(3分)如果关于x的方程x²-6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=　　.

解析：∵关于x的方程x²-6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b²-4ac=0，

即(-6)²-4×1×m=0，解得m=9.

14.(3分)已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线　　.

解析：∵抛物线与x轴的交点为(-4，0)，(2，0)，

∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x= =-1，即x=-1.

答案：x=-1.

15.(3分)如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC.若BC=4cm，AD=5cm，则AB=　　cm.

解析：过点D作DE⊥AB于点E，

∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四边形BCDE是矩形，

∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE= =3(cm)，

∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，

∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=5cm，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8cm.

答案：8.

16.(3分)在如图所示(A，B，C三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在　　区域的可能性最大(填A或B或C).

解析：由题意得：S_A＞S_B＞S_C，

故落在A区域的可能性大，

答案：A.

17.(3分)如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 　°.

解析：连接DO并延长，

∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B=∠AOC，

∵∠AOC=2∠ADC，∴∠B=2∠ADC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴3∠ADC=180°，

∴∠ADC=60°，∴∠B=∠AOC=120°，

∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO

∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°.

答案：60°.

18.(3分)已知实数m，n满足m-n²=1，则代数式m²+2n²+4m-1的最小值等于　 .

解析：∵m-n²=1，即n²=m-1≥0，m≥1，∴原式=m²+2m-2+4m-1=m²+6m+9-12=(m+3)²-12，

则代数式m²+2n²+4m-1的最小值等于(1+3)²-12=4.

答案：4.

三、解答题(本大题共10小题，共96分)

19.(10分)计算：

(1)(-2)²+( )⁰- -( )^-1；

(2)[x(x²y²-xy)-y(x²-x³y)]÷x²y.

解析：(1)先求出每一部分的值，再代入求出即可；

(2)先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可.

答案： (1)原式=4+1-2-2=1；

(2)原式=[x²y(xy-1)-x²y(1-xy)]÷x²y=[x²y(2xy-2)]÷x²y=2xy-2.

20.(8分)如图，正比例函数y=-2x与反比例函数y= 的图象相交于A(m，2)，B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)结合图象直接写出当-2x＞时，x的取值范围.

解析：(1)先把A(m，2)代入y=-2x可计算出m，得到A点坐标为(-1，2)，再把A点坐标代入y= 可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；利用点A与点B关于原点对称确定B点坐标；

(2)观察函数图象得到当x＜-1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方.

答案：(1)把A(m，2)代入y=-2x得-2m=2，解得m=-1，所以A点坐标为(-1，2)，

把A(-1，2)代入y= 得k=-1×2=-2，所以反比例函数解析式为y=- ，

点A与点B关于原点对称，所以B点坐标为(1，-2)；

(2)当x＜-1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，-2x＞ .

21.(8分)如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁.海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

解析：易证△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，求得PD的长，与6海里比较大小即可.

答案：过P作PD⊥AB.AB=18× =12海里.

∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里.

在直角△PBD中，PD=BP·sin∠PBD=12× =6 海里.

∵6 ＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险.

22.(8分)九年级(1)班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间(单位：小时)分成5组：

A.0.5≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.2≤x＜2.5 E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整的统计图(如图)：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是　C　；

(2)补全频数分布直方图；

(3)该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由.

解析：(1)可根据中位数的概念求值；

(2)根据(1)的计算结果补全统计图即可；

(3)根据中位数的意义判断.

答案：(1)C组的人数是：50×40%=20(人)，

B组的人数是：50-3-20-9-1=17(人)，

把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组；

故答案为：C；

(2)根据(1)得出的数据补图如下：

(3)符合实际.

设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，

∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多.

23.(8分)盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别.若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为 .

(1)填空：x=　　，y=　　；

(2)小王和小林利用x个黑球和y个白球进行摸球游戏.约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜.求两个人获胜的概率各是多少？

解析：(1)根据题意得：，解此方程即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案.

答案：(1)根据题意得：，解得：；

故答案为：2，3；

(2)画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况，

∴P(小王胜)= = ，P(小林胜)= = .

24.(8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.

(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

(2)若∠M=∠D，求∠D的度数.

解析：(1)先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；

(2)由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；

答案： (1)∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，

设OB=x，又∵BE=4，∴x²=(x-4)²+8²，解得：x=10，∴⊙O的直径是20.

(2)∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，∴∠D= ∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°.

25.(9分)如图①，底面积为30cm²的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)圆柱形容器的高为　 cm，匀速注水的水流速度为　 cm³/s；

(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm²，求“几何体”上方圆柱的高和底面积.

解析：(1)根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s-18s=6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s-24s=18s，再设匀速注水的水流速度为xcm³/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；

(2)根据圆柱的体积公式得a·(30-15)=18·5，解得a=6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²，根据圆柱的体积公式得5·(30-S)=5·(24-18)，再解方程即可.

答案：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42s-24s=18s，这段高度为14-11=3cm，

设匀速注水的水流速度为xcm³/s，则18·x=30·3，解得x=5，即匀速注水的水流速度为5cm³/s；

故答案为14，5；

(2)“几何体”下方圆柱的高为a，则a·(30-15)=18·5，解得a=6，

所以“几何体”上方圆柱的高为11cm-6cm=5cm，

设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²，根据题意得5·(30-S)=5·(24-18)，解得S=24，

即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm².

26.(10分)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的长.

解析：(1)利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；

(2)连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP AB=1，然后求得EP=2 ，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可.

答案：(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；

(2)连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP= AB=1，AP= = ，AE=AG= ，

∴EP=2 ，∴EB= = = ，∴GD= .

27.(13分)如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G.

(1)若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；

(2)若点G与点C重合，求线段MG的长；

(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值.

解析：(1)利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；

(2)利用勾股定理EM²=AE²+AM²，EC²=BE²+BC²，得出CM²=EC²-EM²，利用线段关系求出CM.再△MAE∽△CDM，求出a的值，再求出CM.

(3)①当点M在AD上时，②：①当点M在AD的延长线上时，作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值.

答案：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠MDF=90°，

∵M为边AD中点，∴MA=MD，

在△MAE和△MDF中，，∴△MAE≌△MDF(ASA)，∴EM=FM，

又∵MG⊥EM，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形；

(2)如图1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，∴BE=AB-AE=3-1=2，BC=AD=4，

∴EM²=AE²+AM²，EC²=BE²+BC²，∴EM²=1+a²，EC²=4+16=20，

∵CM²=EC²-EM²，∴CM²=20-1-a²=19-a²，∴CM= .

∵AB∥CD，∴∠AEM=∠MFD，

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD，

∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM，∴ = ，即 = ，解得a=1或3，

代入CM= .得CM=3 或 .

(3)①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，∴EM= = ，MD=AD-AM=4-a，

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF∴ = ，

∴ = ，∴FM= ，∴EF=EM+FM= + = ，

∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG，

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG，∴∠MGN=∠AME，

∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE∴ = ，∴ = ，∴MG= ，

∴S= EF·MG= × × = +6，即S= +6，

当a= 时，S有最小整数值，S=1+6=7.

②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a∴EM= = ，MD=a-4，

∵DC∥AB，∴△MAE∽△MDF∴ = ，∴ = ，∴FM= ，

∴EF=EM-FM= - = ，

∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，∴∠AME=∠NMG，

∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE∴ = ，∴ = ，∴MG= ，

∴S= EF·MG= × × = +6，即S= +6，

当a＞4时，S没有整数值.

综上所述当a= 时，S有最小整数值，S=1+6=7.

28.(14分)如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.

(1)求线段DE的长；

(2)设过E的直线与抛物线相交于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，试判断当|x₁-x₂|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；

(3)设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标.

解析：(1)根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得.

(2)设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E(1，2)的坐标即可表示出直线MN的解析式y=(2-b)x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x²-bx+b-3=0，所以x₁+x₂=b，x₁ x₂=b-3；根据完全平方公式即可求得|x₁-x₂|= = = = ，所以当b=2时，|x₁-x₂|最小值=2 ，因为b=2时，y=(2-b)x+b=2，所以直线MN∥x轴.