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2014年浙江省温州市中考数学
一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)
1.(4分)计算：(-3)+4的结果是( )
A. -7
B. -1
C. 1
D. 7
解析：原式=+(4-3)=1.
答案：C.
2.(4分)如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是( )
A. 5～10元
B. 10～15元
C. 15～20元
D. 20～25元
解析：根据图形所给出的数据可得：
捐款额为15～20元的有20人，人数最多，则捐款人数最多的一组是15-20元.
答案：C.
3.(4分)如图所示的支架是由两个长方形构成的组合体，则它的主视图是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
解析：从几何体的正面看可得此几何体的主视图是 ，
答案：D.
4.(4分)要使分式
有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2
B. x≠-1
C. x=2
D. x=-1
解析：由题意得，x-2≠0，解得x≠2.
答案：A.
5.(4分)计算：m6·m3的结果( )
A. m18
B. m9
C. m3
D. m2
解析：m6·m3=m9.
答案：B.
6.(4分)小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是( )
A. 22℃
B. 23℃
C. 24℃
D. 25℃
解析：将数据从小到大排列为：21，22，22，23，24，24，25，中位数是23.
答案：B.
7.(4分)一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是( )
A. (0，-4)
B. (0，4)
C. (2，0)
D. (-2，0)
解析：令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是(0，4).
答案：B.
8.(4分)如图，已知A，B，C在⊙O上，
为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A. 2∠C
B. 4∠B
C. 4∠A
D. ∠B+∠C
解析：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C.
答案：A.
9.(4分)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
解析：设男生有x人，女生有y人，根据题意得， .
答案：D.
10.(4分)如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=
(k≠0)中k的值的变化情况是( )
A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
解析：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b.
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，∴2(2a+2b)=4(a+b)为定值，∴a+b为定值.
∵矩形对角线的交点与原点O重合∴k=
AB· AD=ab，
又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.
答案：C.
二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)
11.(5分)因式分解：a2+3a= .
解析：a2+3a=a(a+3).
答案：a(a+3).
12.(5分)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度.
解析：∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠C=∠1=45°，
∵∠2=35°，∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，
答案：80.
13.(5分)不等式3x-2＞4的解是 .
解析：移项得，3x＞4+2，合并同类项得，3x＞6，把x的系数化为1得，x＞2.
答案：x＞2.
14.(5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .
解析：tanA=
=
，
答案：
.
15.(5分)请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是x= (写出一个x的值即可).
解析：当x= 时，原式=
+
+5=7
，不是整数.
答案：
.
16.(5分)如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=
AB.⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=
：2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 .
解析：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，
又∵EG：EF= ：2，∴EG：EN= ：1，
又∵GN=AD=8，∴设EN=x，则
，根据勾股定理得：
，解得：x=4，GE=
，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+(8-r)2，∴r=5.∴OK=NB=5，∴EB=9，
又AE= AB，∴AB=12.同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4.
答案：12或4.
三、解答题(共8小题，满分80分)
17.(10分)(1)计算：
+2×(-5)+(-3)2+20140；
(2)化简：(a+1)2+2(1-a).
解析：(1)分别根据有理数乘方的法则、数的开放法则及0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)根据整式混合运算的法则进行计算即可.
答案：(1)原式=2
-10+9+1=2 ；
(2)原式=a2+2a+1+2-2a=a2+3.
18.(8分)如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)，请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等.
(1)图甲中的格点正方形ABCD；
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
注：分割线画成实线.
解析：(1)利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；
(2)利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可.
答案：(1)如图甲所示：
(2)如图乙所示：
19.(8分)一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是
，求从袋中取出黑球的个数.
解析：(1)由一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得：
= ，继而求得答案.
答案： (1)∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：
=
；
(2)设从袋中取出x个黑球，根据题意得： = ，解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
所以从袋中取出黑球的个数为2个.
20.(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长.
解析：(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60，根据三角形内角和定理即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.
答案： (1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°；
(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.
21.(10分)如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为(-1，0).
(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.
(2)求△EMF与△BNF的面积之比.
解析：(1)直接将(-1，0)代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
(2)利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比.
答案： (1)由题意可得：-(-1)2+2×(-1)+c=0，解得：c=3，∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点M(1，4)；
(2)∵A(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B(3，0)，∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴
=(
)2=(
)2=
.
22.(8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
b2+ ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
c2+ a(b-a)
∴ b2+ ab= c2+ a(b-a)
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°.
求证：a2+b2=c2
证明：连结
∵S五边形ACBED=
又∵S五边形ACBED=
∴
∴a2+b2=c2.
解析：首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案.
答案：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=
ab+
b2+ ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a(b-a)，
∴ ab+ b2+ ab= ab+
c2+ a(b-a)，∴a2+b2=c2.
23.(12分)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分.赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表
(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；
(2)最后获知A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分.
①求E同学的答对题数和答错题数；
②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).
解析：(1)直接算出A，B，C，D四位同学成绩的总成绩，再进一步求得平均数即可；
(2)①设E同学答对x题，答错y题，根据对错共20-7=13和总共得分58列出方程组成方程组即可；
②根据表格分别算出每一个人的总成绩，与实际成绩对比：A为19×5=95分正确，B为17×5+2×(-2)=81分正确，C为15×5+2×(-2)=71错误，D为17×5+1×(-2)=83正确，E正确；所以错误的是E，多算7分，也就是答对的少一题，打错的多一题，由此得出答案即可.
答案： (1)
=
=82.5(分)，
答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分是82.5分.
(2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得
，解得
，
答：E同学答对12题，答错1题.
②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题.
24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-3，0)，(0，6).动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围.
解析：(1)由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，
(2)连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形.
(3)当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；
②当1≤t＜
时和当
＜t＜5时，分别求出S的取值范围，
答案： (1)∵OB=6，C是OB的中点，
∴BC=
OB=3，∴2t=3即t=
，∴OE= +3= ，E( ，0)；
(2)如图，连接CD交OP于点G，
在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PO，∴AG=EG，∴四边形ADEC是平行四边形.
(3)①(Ⅰ)当点C在BO上时，
第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴
=
，即
=
，∴t=1，
第二种情况：当点N在DE边时，
∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴
=
，即
=
，∴t=
，
(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时，
第一种情况：当点M在DE边上时，
∵MF∥PD，∴△EMF∽△EDP，∴
=
即 
=
，∴t=
，
第二种情况：当点N在CE边上时，
∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴
=
即 
=
，∴t=5.
②
＜S≤
或
＜S＜20.
当1≤t＜
时，S=t(6-2t)=-2(t-
)2+ ，
∵t= 在1≤t＜ 范围内，∴
＜S≤ ，
当
＜t＜5时，S=t(2t-6)=2(t-
)2- ，∴
＜S＜20.
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