2015年山东省聊城市中考数学

2015年山东省聊城市中考数学

　

一、选择题(共12小题，每小题3分，满分36分)

1.(3分)- 的绝对值等于(　　)

A. -3

B. 3

C. -

D.

解析：- 的绝对值等于 .

答案：D.

 

2.(3分)直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于(　　)

A. 58°

B. 70°

C. 110°

D. 116°

解析：∵∠1=∠2=58°，

∴a∥b，

∴∠3+∠5=180°，

即∠5=180°-∠3=180°-70°=110°，

∴∠4=∠5=110°.

答案：C.

 

3.(3分)电视剧《铁血将军》在我市拍摄，该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象.某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2400名学生中随机抽取了100名学生进行调查.在这次调查中，样本是(　　)

A. 2400名学生

B. 100名学生

C. 所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况

D. 每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况

解析：根据总体、样本的含义，可得在这次调查中，

总体是：2400名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，

样本是：所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况.

答案：C.

 

4.(3分)某几何体的三视图如图所示，这个几何体是(　　)

A. 圆锥

B. 圆柱

C. 三棱柱

D. 三棱锥

解析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，

由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥.

答案：A.

 

5.(3分)下列运算正确的是(　　)

A. a²+a³=a⁵

B. (-a³)²=a⁶

C. ab²·3a²b=3a²b²

D. -2a⁶÷a²=-2a³

解析：A、a²与a³不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、(-a³)²=a⁶，正确；

C、应为ab²·3a²b=3a³b³，故本选项错误；

D、应为-2a⁶÷a²=-2a⁴，故本选项错误.

答案：B.

 

6.(3分)不等式x-3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：不等式得：x≥-2，其数轴上表示为：

答案：B

 

7.(3分)下列命题中的真命题是(　　)

A. 两边和一角分别相等的两个三角形全等

B. 相似三角形的面积比等于相似比

C. 正方形不是中心对称图形

D. 圆内接四边形的对角互补

解析：A、两边和一角分别相等的两个三角形全等，这个角不一定是已知两边的夹角，此选项错误；

B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，此选项错误；

C、正方形是中心对称图形，此选项错误；

D、圆内接四边形的对角互补，此选项正确.

答案：D.

 

8.(3分)为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：：0至9：00来往车辆的车速(单位：千米/时)，并绘制成如图所示的条形统计图.这些车速的众数、中位数分别是(　　)

A. 众数是80千米/时，中位数是60千米/时

B. 众数是70千米/时，中位数是70千米/时

C. 众数是60千米/时，中位数是60千米/时

D. 众数是70千米/时，中位数是60千米/时

解析：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，

这组数据从小到大的顺序排列，处于正中间位置的数是60千米/时，故中位数是60千米/时.

答案：D.

 

9.(3分)图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图(2)所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是(　　)

A. 梦

B. 水

C. 城

D. 美

解析：第一次翻转梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻转城在下面，城与梦相对.

答案：A.

 

10.(3分)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图).已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为(　　)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)

A. 34米

B. 38米

C. 45米

D. 50米

解析：过D作DE⊥AB于E，

∴DE=BC=50米，

在Rt△ADE中，AE=DE·tan41，5°≈50×0.88=44(米)，

∵CD=1米，

∴BE=1米，

∴AB=AE+BE=44+1=45(米)，

∴桥塔AB的高度为45米.

答案：C

 

11.(3分)小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家.妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S(km)与北京时间t(时)的函数图象如图所示.根据图象得到小亮结论，其中错误的是(　　)

A. 小亮骑自行车的平均速度是12km/h

B. 妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家

C. 妈妈在距家12km处追上小亮

D. 9：30妈妈追上小亮

解析：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10-8=2小时，

∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12(km/h)，故正确；

B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10-9.5=0.5(小时)，

∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；

C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9-8=1小时，

∴小亮走的路程为：1×12=12km，

∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；

D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误.

答案：D.

 

12.(3分)如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，

∵OD= AO

∴∠OAD=30°，

∴∠AOB=2∠AOD=120°，

同理∠BOC=120°，

∴∠AOC=120°，

∴阴影部分的面积=S_扇形AOC= ×⊙O面积.

答案：B.

 

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

13.(3分)一元二次方程x²-2x=0的解是_____.

解析：原方程变形为：x(x-2)=0，

x₁=0，x₂=2.

答案：x₁=0，x₂=2.

 

14.(3分)计算：( + )²- =_____.

解析：原式=2+2 +3-2

=5.

答案：5.

 

15.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线.若AB=6，则点D到AB的距离是_____.

解析：∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=180°-30°-90°=60°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC= ∠ABC=30°，

∴BC= AB=3，

∴CD=BC·tan30°=3× = ，

∵BD是∠ABC的平分线，

又∵角平线上点到角两边距离相等，

∴点D到AB的距离=CD= ，

答案： .

 

16.(3分)二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是_____(填写序号).

解析：∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，

∴2a+b=0，所以①正确；

∵x=-1时，y＜0，

∴a-b+c＜0，

即a+c＜b，所以②错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为(-2，0)

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)，所以③错误；

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∴b=-2a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，所以④正确.

答案：①④.

 

17.(3分)如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P₁，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P₁、P₂，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P₁、P₂、P₃，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P₁、P₂、P₃、…、P_n，把△ABC分成_____个互不重叠的小三角形.

解析：如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P₁，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0，

△ABC的三个顶点和它内部的点P₁、P₂，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1，

△ABC的三个顶点和它内部的点 P₁、P₂、P₃，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，

所以△ABC的三个顶点和它内部的点 P₁、P₂、P₃、…、P_n，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2(n-1).

答案：2n+1.

 

三、解答题(本题共8个小题，共69分)

18.(7分)解方程组 .

解析：方程组利用加减消元法求出解即可.

答案： ，

①+②得：3x=9，即x=3，

把x=3代入①得：y=-2，

则方程组的解为 .

 

19.(8分)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(-3，-1).

(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁，并写出点B₁坐标；

(2)画出△A₁B₁C₁关于y轴对称的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标.

解析：(1)直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；

(2)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案.

答案：(1)如图所示：△A₁B₁C₁，即为所求；点B₁坐标为：(-2，-1)；

(2)如图所示：△A₂B₂C₂，即为所求，点C₂的坐标为：(1，1).

 

20.(8分)已知反比例函数y= (m为常数，且m≠5).

(1)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；

(2)若其图象与一次函数y=-x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值.

解析：(1)由反比例函数y= 的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m-5＜0，从而求出m的取值范围；

(2)先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=-x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y= 中，即可求出m的值.

答案：(1)∵在反比例函数y= 图象的每个分支上，y随x的增大而增大，

∴m-5＜0，

解得：m＜5；

(2)将y=3代入y=-x+1中，得：x=-2，

∴反比例函数y= 图象与一次函数y=-x+1图象的交点坐标为：(-2，3).

将(-2，3)代入y= 得：

3=

解得：m=-1.

 

21.(8分)如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.

求证：四边形BECD是矩形.

解析：根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形.结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形.

答案：∵AB=BC，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，AD=CD.

∵四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，BE=AD，

∴四边形BECD是平行四边形.

∵BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴▱BECD是矩形.

 

22.(8分)在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场.

(1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；

(2)如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.

解析：(1)由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；

(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率.

答案：(1)∵确定小亮打第一场，

∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 ；

(2)列表如下：

所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个，

则小莹与小芳打第一场的概率为 .

 

23.(8分)在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空.根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花.已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的 ，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元.问第二批鲜花每盒的进价是多少元？

解析：可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的 ，列出方程求解即可.

答案：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有

，

解得x=150，

经检验：x=150是原方程的解.

故第二批鲜花每盒的进价是150元.

 

24.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE；

(2)若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长.

解析：(1)本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；

(2)由(1)知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果.

答案：(1)证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

(2)解：有(1)知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半径=3.

 

25.(12分)如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0＜x＜4)时，解答下列问题：

(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；

(2)设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

解析：(1)由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式 ，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；

(2)由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；

(3)分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可.

答案：(1)根据题意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB= =5，

作NP⊥OA于P，如图1所示：

则NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴ ，

即 ，

解得：OP=x，PN= ，

∴点N的坐标是(x， )；

(2)在△OMN中，OM=4-x，OM边上的高PN= ，

∴S= OM·PN= (4-x)· =- x²+ x，

∴S与x之间的函数表达式为S=- x²+ x(0＜x＜4)，

配方得：S=- (x-2)²+ ，

∵- ＜0，

∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是 ；

(3)存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：

则MN∥AB，

此时OM=4-x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴ ，

即 ，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示：

则∠ONM=∠OAB，

此时OM=4-x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴ ，

即 ，

解得：x= ；

综上所述：x的值是2秒或 秒.