2018年上海市杨浦区中考一模数学

 

2018年上海市杨浦区中考一模数学

 

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

1.如果5x=6y，那么下列结论正确的是( )

A.x：6=y：5

B.x：5=y：6

C.x=5，y=6

D.x=6，y=5

解析：直接利用比例的性质将原式变形，

∵5x=6y，

∴ .

故选项A正确.

答案：A

 

2.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( )

A.都含有一个40°的内角

B.都含有一个50°的内角

C.都含有一个60°的内角

D.都含有一个70°的内角

解析：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；

C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.

答案：C

 

3.如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是( )

A.BC：DE=1：2

B.△ABC的面积：△DEF的面积=1：2

C.∠A的度数：∠D的度数=1：2

D.△ABC的周长：△DEF的周长=1：2

解析：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE=1：2不一定成立，故本选项错误；

B、△ABC的面积：△DEF的面积=1：4，故本选项错误；

C、∠A的度数：∠D的度数=1：1，故本选项错误；

D、△ABC的周长：△DEF的周长=1：2正确，故本选项正确.

答案：D

 

4.如果 ( 均为非零向量)，那么下列结论错误的是( )

A.

B.

C.

D.

解析：A、正确.因为 ( 均为非零向量)，所以 与 是方向相同的向量，即 ；

B、错误.应该是 ；

C、正确.由 可得 ；

D、正确.因为 所以 .

答案：B

 

5.如果二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列不等式成立的是( )

A.a＞0

B.b＜0

C.ac＜0

D.bc＜0.

解析：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴x=﹣ ＞0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴ac＜0，bc＞0.

答案：C

 

6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE∽△BDF的是( )

A.

B.

C.

D. .

解析：A、∵∠AED=∠B， ，∴△ADE∽△BDF，正确；

B、∵∠AED=∠B， ，∴△ADE∽△BDF，正确；

C、∵∠AED=∠B， ，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；

D、∵∠AED=∠B， ，∴△ABC∽△BDF，∵∠A=∠A，∠B=∠AED，∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；

答案：C

 

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.抛物线y=x²﹣3的顶点坐标是_____.

解析：∵抛物线y=x²﹣3，

∴抛物线y=x²﹣3的顶点坐标是：(0，﹣3)，

答案：(0，﹣3)

 

8.化简： =_____.

解析：

=

=

答案：

 

9.点A(﹣1，m)和点B(﹣2，n)都在抛物线y=(x﹣3)²+2上，则m与n的大小关系为m_____n(填“＜”或“＞”).

解析：∵二次函数的解析式为y=(x﹣3)²+2，

∴该抛物线开口向上，对称轴为x=3，在对称轴y的左侧y随x的增大而减小，

∵﹣1＞﹣2，

∴m＜n.

答案：＜

 

10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，4)的抛物线的表达式_____.

解析：因为抛物线的开口向下，

则可设a=﹣1，

又因为抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，

则可设顶点为(0，4)，

所以此时抛物线的解析式为y=﹣x²+4.

答案：y=﹣x²+4

 

11.如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC=_____.

解析：∵DE∥FG∥BC，

∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，

∵EG=4，

∴AE= ，GC= ，

∴AC=AE+EG+GC=12，

答案：12

 

12.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____.

解析：∵在▱ABCD中，AO= AC，

∵点E是OA的中点，

∴AE= CE，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

∴ ，

∵S_△AEF=4， ，

∴S_△BCE=36.

答案：36

 

13.Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=9，cosA= ，那么AB=_____.

解析：如图.

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，cosA= ，

∴ ，

∴AB=27.

答案：27

 

14.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：_____.

解析：由题意得，水平距离= =120，

则该斜坡的坡度i=50：120=1：2.4.

答案：2.4

 

15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO=_____.

解析：∵∠C=90°，

CM是AB边上的中线，

∴CM= AB=6，

∵MH⊥BC，

∴H是BC的中点，

∴AH是BC边上的中线，

∵AH与CM交于点O，

∴O是△ABC的重心，

∴ ，

∴CO= CM=4，

答案：4

 

16.已知抛物线y=ax²+2ax+c，那么点P(﹣3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_____.

解析：∵y=ax²+2ax+c，

∴抛物线对称轴为x=﹣ =﹣1，

∵P(﹣3，4)关于对称轴对称的点的坐标为(1，4)，

答案：(1，4)

 

17.在平面直角坐标系中，将点(﹣b，﹣a)称为点(a，b)的“关联点”(例如点(﹣2，﹣1)是点(1，2)的“关联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_____象限.

解析：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)分别在一三象限，不合题意；

若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)都在第二或第四象限，符合题意；

答案：二、四

 

18.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB= ，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_____.

解析：如图所示，连接BD，AM，

∵AB=AC，M是BC的中点，BC=6，

∴AM⊥BC，

∵sinB= ，BM=3，

∴Rt△ABM中，由勾股定理可得：AM= ，AB= =AC，

∵∠ACB=∠ACD，BC=DC，

∴BD⊥AC，BH=DH，

∴ BC×AM= AC×BH，

∴BH= =4，

∴BD=2BH=8，

又∵M是BC的中点，N是CD的中点，

∴MN= BD=4，

答案：4

 

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

19.计算： .

解析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案.

答案：原式=

=

= .

 

20.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB=2：3，DE⊥BC.

(1)求∠DCE的正切值；

(2)如果设 ，试用 表示 .

解析：(1)设AC=3a，AB=5a.则BC=4a.想办法求出DE、CE，根据tan∠DCE= 即可解决问题；

(2)根据 ，只要求出 即可解决问题；

答案：(1)∵∠ACB=90°，sinB= ，

∴ ，

∴设AC=3a，AB=5a.则BC=4a.

∵AD：DB=2：3，∴AD=2a，DB=3a.

∵∠ACB=90°即AC⊥BC，又DE⊥BC，

∴AC∥DE.

∴ .

∴ .

∴DE= a，CE= a，

∵DE⊥BC，

∴tan∠DCE= .

 

(2)∵AD：DB=2：3，

∴AD：AB=2：5，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ .

 

21.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.

解析：首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案.

答案：由题意得：C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x=4，

设抛物线的表达式为：y=ax²+bx+1(a≠0)，

则据题意得： ，

解得： ，

∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为： ，

∵ ，

∴飞行的最高高度为： 米.

 

22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6.求灯杆AB的长度.

解析：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10.设AF=x知EF=AF=x、 ，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8.

答案：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG=BC=10.

由题意得∠ADE=α，∠E=45°.

设AF=x.

∵∠E=45°，

∴EF=AF=x.

在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ，

∴ ，

∵DE=13.3，

∴x+ =13.3.

∴x=11.4.

∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4.

∵∠ABC=120°，

∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°.

∴AB=2AG=2.8，

答：灯杆AB的长度为2.8米.

 

23.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.

(1)求证：△AED∽△CFE；

(2)当EF∥DC时，求证：AE=DE.

解析：(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，进而求出△AED∽△CFE，

(2)根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性质解答即可.

答案：证明：(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD，

∠BEC=∠BEF+∠FEC，

又∵∠BEF=∠BAC，

∴∠ABD=∠FEC，

∵AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠FEC=∠ADB，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ECF，

∴△AED∽△CFE；

(2)∵EF∥DC，

∴∠FEC=∠ECD，

∵∠ABD=∠FEC，

∴∠ABD=∠ECD，

∵∠AEB=∠DEC.

∴△AEB∽△DEC，

∴ ，

∵AD∥BC，

∴ ，

∴ .即AE²=DE²，

∴AE=DE.

 

24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x²+2mx﹣m²﹣m+1交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.

(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)当抛物线过点(1，﹣2)，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣x²+2x的位置，求平移的方向和距离；

(3)当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值.

解析：(1)利用配方法将函数关系式变形为y=﹣(x﹣m)²﹣m+1，从而可得到点D的坐标；

(2)将点(1，﹣2)代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；

(3)分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH=∠AHO可得到 ，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可.

答案：(1)∵y=﹣x²+2mx﹣m²﹣m+1=﹣(x﹣m)²﹣m+1，

∴顶点D(m，1﹣m).

(2)∵抛物线y=﹣x²+2mx﹣m²﹣m+1过点(1，﹣2)，

∴﹣2=﹣1+2m﹣m²﹣m+1.整理得：m²﹣m﹣2=0.

∴m=﹣1(舍)或m=2.

当m=2时，抛物线的顶点是(2，﹣1)，

∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位.

(3)∵顶点D在第二象限，

∴m＜0.

当点A在y轴的正半轴上，

如图(1)作AG⊥DH于点G，

∵A(0，﹣m²﹣m+1)，D(m，﹣m+1)，

∴H(m，0)，G(m，﹣m²﹣m+1)

∵∠ADH=∠AHO，

∴tan∠ADH=tan∠AHO，

∴ .

∴ .

整理得：m²+m=0.

∴m=﹣1或m=0(舍).

当点A在y轴的负半轴上，如图(2).作AG⊥DH于点G，

∵A(0，﹣m²﹣m+1)，D(m，﹣m+1)，

∴H(m，0)，G(m，﹣m²﹣m+1)

∵∠ADH=∠AHO，

∴tan∠ADH=tan∠AHO，

∴ .

∴ .

整理得：m²+m﹣2=0.

∴m=﹣2或m=1(舍).

综上所述，m的值为﹣1或﹣2.

 

25.已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.

(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；

(2)如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；

(3)请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.

解析：(1)先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE，最后用锐角三角函数即可得出结论；

(2)先由锐角三角函数求出 AE，CE，再用勾股定理求出PC，最后勾股定理建立方程即可得出结论；

(3)先确定出PC最大和最小时的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.

答案：(1)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，

∴△AME≌△PME.

∴∠AEM=∠PEM，AE=PE.

∵ABCD是矩形，

∴AB⊥BC.

∵EP⊥BC，

∴AB∥EP.

∴∠AME=∠PEM.

∴∠AEM=∠AME.

∴AM=AE，

∵ABCD是矩形，

∴AB∥DC.

∴ .

∴CN=CE，

设CN=CE=x.

∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴AC=5.

∴PE=AE=5﹣x.

∵EP⊥BC，

∴ ，

∴x= ，

即CN=

(2)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，

∴△AME≌△PME.

∴AE=PE，AM=PM.

∵EP⊥AC，

∴ .

∴ .

∵AC=5，

∴AE= ，CE= .

∴PE= ，

∵EP⊥AC，

∴PC= .

∴PB=PC﹣BC= ，

在Rt△PMB中，∵PM²=PB²+MB²，AM=PM.

∴AM²=( )²+(4﹣AM)².

∴AM= ；

(3)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，

由折叠知，AE=PE，

由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，

∴AC＞PC，

∴PC＜5，

∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，

∴0≤CP≤5，

如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，

由折叠知，PM=AM，

在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM²﹣BM²=BP²，

∴(4﹣BM)²﹣BM²=4，

∴BM= ，

在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN= .

当CP最大时MN= ，