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2018年上海市杨浦区中考一模数学

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2018年上海市杨浦区中考一模数学

 

一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24)

1.如果5x=6y,那么下列结论正确的是( )

A.x6=y5

B.x5=y6

C.x=5y=6

D.x=6y=5

解析:直接利用比例的性质将原式变形,

5x=6y

.

故选项A正确.

答案:A

 

2.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是( )

A.都含有一个40°的内角

B.都含有一个50°的内角

C.都含有一个60°的内角

D.都含有一个70°的内角

解析:因为ABD给出的角40°50°70°可能是顶角也可能是底角,所以不对应,则不能判定两个等腰三角形相似;故ABD错误;

C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形,所有的等边三角形相似,故C正确.

答案:C

 

3.如果△ABC∽△DEFAB分别对应DE,且ABDE=12,那么下列等式一定成立的是( )

A.BCDE=12

B.△ABC的面积:△DEF的面积=12

C.∠A的度数:∠D的度数=12

D.△ABC的周长:△DEF的周长=12

解析:ABCEF是对应边,所以,BCDE=12不一定成立,故本选项错误;

B、△ABC的面积:△DEF的面积=14,故本选项错误;

C、∠A的度数:∠D的度数=11,故本选项错误;

D、△ABC的周长:△DEF的周长=12正确,故本选项正确.

答案:D

 

4.如果 ( 均为非零向量),那么下列结论错误的是( )

A.

B.

C.

D.

解析:A、正确.因为 ( 均为非零向量),所以 是方向相同的向量,即

B、错误.应该是

C、正确. 可得

D、正确.因为 所以 .

答案:B

 

5.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么下列不等式成立的是( )

A.a0

B.b0

C.ac0

D.bc0.

解析:∵抛物线开口向下,

a0

抛物线的对称轴在y轴的右侧,

x=﹣ 0

b0

抛物线与y轴的交点在x轴上方,

c0

ac0bc0.

答案:C

 

6.如图,在△ABC中,点DEF分别在边ABACBC上,且∠AED=∠B,再将下列四个选项中的一个作为条件,不一定能使得△ADE∽△BDF的是( )

A.

B.

C.

D. .

解析:A、∵∠AED=∠B ,∴△ADE∽△BDF,正确;

B、∵∠AED=∠B ,∴△ADE∽△BDF,正确;

C、∵∠AED=∠B ,不是夹角,∴不能得出△ADE∽△BDF,错误;

D、∵∠AED=∠B ,∴△ABC∽△BDF,∵∠A=∠A,∠B=∠AED,∴△AED∽△ABC,∴△ADE∽△BDF,正确;

答案:C

 

二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48)

7.抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是_____.

解析:∵抛物线y=x2﹣3

抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是:(0,﹣3)

答案:(0,﹣3)

 

8.化简: =_____.

解析:

=

=

答案:

 

9.A(﹣1m)和点B(﹣2n)都在抛物线y=(x﹣3)2+2上,则mn的大小关系为m_____n(填“<”或“>”).

解析:∵二次函数的解析式为y=(x﹣3)2+2

该抛物线开口向上,对称轴为x=3,在对称轴y的左侧yx的增大而减小,

∵﹣1>﹣2

mn.

答案:<

 

10.请写出一个开口向下,且与y轴的交点坐标为(04)的抛物线的表达式_____.

解析:因为抛物线的开口向下,

则可设a=﹣1

又因为抛物线与y轴的交点坐标为(04)

则可设顶点为(04)

所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+4.

答案:y=﹣x2+4

 

11.如图,DE∥FG∥BCADDFFB=234,如果EG=4,那么AC=_____.

解析:∵DE∥FG∥BC

AEEGGC=ADDFFB=234

EG=4

AE= GC=

AC=AE+EG+GC=12

答案:12

 

12.如图,在ABCD中,ACBD相交于点O,点EOA的中点,联结BE并延长交AD于点F,如果△AEF的面积是4,那么△BCE的面积是_____.

解析:∵在ABCD中,AO= AC

EOA的中点,

AE= CE

AD∥BC

∴△AFE∽△CBE

S△AEF=4

S△BCE=36.

答案:36

 

13.Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=9cosA= ,那么AB=_____.

解析:如图.

Rt△ABC中,∠C=90°AC=9cosA=

AB=27.

答案:27

 

14.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时,在铅垂方向上下降了50米,那么该斜坡的坡度是1_____.

解析:由题意得,水平距离= =120

则该斜坡的坡度i=50120=12.4.

答案:2.4

 

15.如图,Rt△ABC中,∠C=90°MAB中点,MH⊥BC,垂足为点HCMAH交于点O,如果AB=12,那么CO=_____.

解析:∵∠C=90°

CMAB边上的中线,

CM= AB=6

MH⊥BC

HBC的中点,

AHBC边上的中线,

AHCM交于点O

O是△ABC的重心,

CO= CM=4

答案:4

 

16.已知抛物线y=ax2+2ax+c,那么点P(﹣34)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_____.

解析:∵y=ax2+2ax+c

抛物线对称轴为x=﹣ =﹣1

P(﹣34)关于对称轴对称的点的坐标为(14)

答案:(14)

 

17.在平面直角坐标系中,将点(﹣b,﹣a)称为点(ab)的“关联点”(例如点(﹣2,﹣1)是点(12)的“关联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这一点在第_____象限.

解析:若ab同号,则﹣b,﹣a也同号且符号改变,此时点(﹣b,﹣a),点(ab)分别在一三象限,不合题意;

ab异号,则﹣b,﹣a也异号,此时点(﹣b,﹣a),点(ab)都在第二或第四象限,符合题意;

答案:二、四

 

18.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A旋转,当点B与点C重合时,点C落在点D处,如果sinB= BC=6,那么BC的中点MCD的中点N的距离是_____.

解析:如图所示,连接BDAM

AB=ACMBC的中点,BC=6

AM⊥BC

sinB= BM=3

Rt△ABM中,由勾股定理可得:AM= AB= =AC

∵∠ACB=∠ACDBC=DC

BD⊥ACBH=DH

BC×AM= AC×BH

BH= =4

BD=2BH=8

又∵MBC的中点,NCD的中点,

MN= BD=4

答案:4

 

三、解答题:(本大题共7题,满分78)

19.计算: .

解析:直接将特殊角的三角函数值代入求出答案.

答案:原式=

=

= .

 

20.已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°sinB= ,点DE分别在边ABBC上,且ADDB=23DE⊥BC.

(1)求∠DCE的正切值;

(2)如果设 ,试用 表示 .

解析:(1)AC=3aAB=5a.BC=4a.想办法求出DECE,根据tan∠DCE= 即可解决问题;

(2)根据 ,只要求出 即可解决问题;

答案:(1)∵∠ACB=90°sinB=

AC=3aAB=5a.BC=4a.

ADDB=23,∴AD=2aDB=3a.

∵∠ACB=90°AC⊥BC,又DE⊥BC

AC∥DE.

.

.

DE= aCE= a

DE⊥BC

tan∠DCE= .

 

(2)∵ADDB=23

ADAB=25

.

 

21.甲、乙两人分别站在相距6米的AB两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面1米的C处发出一球,乙在离地面1.5米的D处成功击球,球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE4米,现以A为原点,直线ABx轴,建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.

解析:首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标,进而求出解析式,进而得出答案.

答案:由题意得:C(01)D(61.5),抛物线的对称轴为直线x=4

设抛物线的表达式为:y=ax2+bx+1(a≠0)

则据题意得:

解得:

羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为:

飞行的最高高度为: .

 

22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱BC的高为10米,灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°.路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE的长为13.3米,从DE两处测得路灯A的仰角分别为α45°,且tanα=6.求灯杆AB的长度.

解析:过点AAF⊥CE,交CE于点F,过点BBG⊥AF,交AF于点G,则FG=BC=10.AF=xEF=AF=x ,由DE=13.3求得x=11.4,据此知AG=AF﹣GF=1.4,再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8.

答案:过点AAF⊥CE,交CE于点F,过点BBG⊥AF,交AF于点G,则FG=BC=10.

由题意得∠ADE=α,∠E=45°.

AF=x.

∵∠E=45°

EF=AF=x.

Rt△ADF中,∵tan∠ADF=

DE=13.3

x+ =13.3.

x=11.4.

AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4.

∵∠ABC=120°

∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°.

AB=2AG=2.8

答:灯杆AB的长度为2.8.

 

23.已知:梯形ABCD中,AD∥BCAD=AB,对角线ACBD交于点E,点F在边BC上,且∠BEF=∠BAC.

(1)求证:△AED∽△CFE

(2)EF∥DC时,求证:AE=DE.

解析:(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC,以及∠DAE=∠ECF,进而求出△AED∽△CFE

(2)根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC,再利用相似三角形的性质解答即可.

答案:证明:(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD

BEC=∠BEF+∠FEC

又∵∠BEF=∠BAC

∴∠ABD=∠FEC

AD=AB

∴∠ABD=∠ADB

∴∠FEC=∠ADB

AD∥BC

∴∠DAE=∠ECF

∴△AED∽△CFE

(2)∵EF∥DC

∴∠FEC=∠ECD

∵∠ABD=∠FEC

∴∠ABD=∠ECD

∵∠AEB=∠DEC.

∴△AEB∽△DEC

AD∥BC

.AE2=DE2

AE=DE.

 

24.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1y轴于点为A,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.

(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示)

(2)当抛物线过点(1,﹣2),且不经过第一象限时,平移此抛物线到抛物线y=﹣x2+2x的位置,求平移的方向和距离;

(3)当抛物线顶点D在第二象限时,如果∠ADH=∠AHO,求m的值.

解析:(1)利用配方法将函数关系式变形为y=﹣(x﹣m)2﹣m+1,从而可得到点D的坐标;

(2)将点(1,﹣2)代入抛物线的解析式可求得m的值,然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标,从而可得到抛物线平移的方向和距离;

(3)分为点Ay轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形,然后过点AAG⊥DH,垂足为G,由∠ADH=∠AHO可得到 ,然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可.

答案:(1)∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣(x﹣m)2﹣m+1

顶点D(m1﹣m).

(2)∵抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点(1,﹣2)

∴﹣2=﹣1+2m﹣m2﹣m+1.整理得:m2﹣m﹣2=0.

m=﹣1()m=2.

m=2时,抛物线的顶点是(2,﹣1)

向左平移了1个单位,向上平移了2个单位.

(3)∵顶点D在第二象限,

m0.

当点Ay轴的正半轴上,

如图(1)AG⊥DH于点G

A(0,﹣m2﹣m+1)D(m,﹣m+1)

H(m0)G(m,﹣m2﹣m+1)

∵∠ADH=∠AHO

tan∠ADH=tan∠AHO

.

.

整理得:m2+m=0.

m=﹣1m=0().

当点Ay轴的负半轴上,如图(2).AG⊥DH于点G

A(0,﹣m2﹣m+1)D(m,﹣m+1)

H(m0)G(m,﹣m2﹣m+1)

∵∠ADH=∠AHO

tan∠ADH=tan∠AHO

.

.

整理得:m2+m﹣2=0.

m=﹣2m=1().

综上所述,m的值为﹣1或﹣2.

 

25.已知:矩形ABCD中,AB=4BC=3,点MN分别在边ABCD上,直线MN交矩形对角线AC于点E,将△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,且点P在射线CB.

(1)如图1,当EP⊥BC时,求CN的长;

(2)如图2,当EP⊥AC时,求AM的长;

(3)请写出线段CP的长的取值范围,及当CP的长最大时MN的长.

解析:(1)先由折叠得出∠AEM=∠PEMAE=PE,再判断出AB∥EP,进而判断出CN=CE,最后用锐角三角函数即可得出结论;

(2)先由锐角三角函数求出 AECE,再用勾股定理求出PC,最后勾股定理建立方程即可得出结论;

(3)先确定出PC最大和最小时的位置,即可得出PC的范围,最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.

答案:(1)∵△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,

∴△AME≌△PME.

∴∠AEM=∠PEMAE=PE.

ABCD是矩形,

AB⊥BC.

EP⊥BC

AB∥EP.

∴∠AME=∠PEM.

∴∠AEM=∠AME.

AM=AE

ABCD是矩形,

AB∥DC.

.

CN=CE

CN=CE=x.

ABCD是矩形,AB=4BC=3

AC=5.

PE=AE=5﹣x.

EP⊥BC

x=

CN=

(2)∵△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,

∴△AME≌△PME.

AE=PEAM=PM.

EP⊥AC

.

.

AC=5

AE= CE= .

PE=

EP⊥AC

PC= .

PB=PC﹣BC=

Rt△PMB中,∵PM2=PB2+MB2AM=PM.

AM2=( )2+(4﹣AM)2.

AM=

(3)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°

Rt△ABC中,AB=4BC=3,根据勾股定理得,AC=5

由折叠知,AE=PE

由三角形的三边关系得,PE+CEPC

ACPC

PC5

EAC中点时,PC最小为0,当点E和点C重合时,PC最大为AC=5

0≤CP≤5

如图,当点CNE重合时,PC=BC+BP=5

BP=2

由折叠知,PM=AM

Rt△PBM中,PM=4﹣BM,根据勾股定理得,PM2﹣BM2=BP2

(4﹣BM)2﹣BM2=4

BM=

Rt△BCM中,根据勾股定理得,MN= .

CP最大时MN=

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